Bevis for cosinusrelationerne
De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, og vi vælger den, hvor vinkel A indgår:
{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}
Vi ser først på en vilkårlig trekant {$\Delta ABC$}, hvor alle vinkler er spidse (<90 grader):
Vi nedfælder højden fra vinkel B og får derved opdelt trekanten i to retvinklede trekanter. Højden deler siden b i to stykker. I trekanten til venstre - den der indeholder vinkel A - kalder vi stykket x, og i den anden trekant - den der indeholder vinkel C - er stykket så b-x (se figuren).
Vi bruger nu Pythagoras's sætning på de to retvinklede trekanter og får udtrykkene:
{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}
Vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger
{$$h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; h^2 = a^2 - (b-x)^2$$}
og da de to udtryk, som begge er lig med {$h^2$}, selvfølgelig også er lig med hinanden, har vi ligningen
{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b-x)^2$$}
Vi omformer ligningen, så der står {$a^2$} på venstresiden (som der jo gør i den cosinusrelation, vi er i gang med at udlede)
{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b-x)^2$$}
dernæst ganges parentesen ud
{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 - 2bx$$}