Potensfunktioner

Potensfunktioner er funktioner, der har forskriften

{$$\bf f(x) = b \cdot x^a$$}

Hvor a og b er konstanter. Der skal gælde, at b>0 og x>0

På figuren herunder ses nogle eksempler på grafer for potensfunktioner

Potensfunktioners graf

Her kan du undersøge, hvilken betydning konstanterne a og b har for grafens udseende (juster a's og b's værdier ved at trække i skyderne)

Vækstform

Potensfunktioner har den karakteristiske egenskab, at en procentvis øgning af x-værdien giver en procentvis ændring af y-værdien. Potensfunktioners vækstform kaldes derfor procent-procent vækst. Denne vækstegenskab kan vises på følgende måde:

Vi tager udgangspunkt i en tilfældig x-værdi, som vi kalder {$x_1$}. Den tilhørende y-værdi er så:

{$$y_1 = b \cdot {x_1}^a$$}

Vi øger så x-værdien {$x_1$}med en procentdel {$p$} ved at gange den med fremskrivningsfaktoren {$F_x = 1+p$}. Den nye x-værdi er så {$x_2 = x_1 \cdot F_x$}, og dens tilhørende y-værdi er

{$$y_2 = b \cdot {x_2}^a$$}

eller

{$$y_2 = b \cdot (x_1 \cdot F_x)^{\ a}$$}

Potensen omskrives (se potensregneregler)

{$$y_2 = b \cdot {x_1}^a \cdot {F_x}^a$$}

men {$b \cdot {x_1}^a$} er jo lig med {$y_1$}, så vi får

{$$y_2 = y_1 \cdot {F_x}^a$$}

Vi kan altså bekræfte, at en procentvis øgning af x-værdien (som opnås ved at gange med fremskrivningsfaktoren {$F_x$}) giver en procentvis ændring af y-værdien (da denne ganges med fremskrivningsfaktoren {$F_y = F_x^{\ a}$})

Potensfunktioners vækstform

Her kan du undersøge, hvordan y-tilvæksten afhænger af x-tilvæksten for en potensfunktion. Du kan indstille potensfunktionens a og b værdier, den procentvise øgning (p) af x-værdien samt punktet A's position (og dermed {$x_1$}-værdien

Bestemmelse af a og b

Hvis man kender to punkter kan konstanterne a og b for den potensfunktion, hvis graf går gennem de to punkter, findes ved hjælp af følgende formler

Lad der være givet to punkter {$(x_1,y_1)$} og {$(x_2,y_2)$}

Konstanten a findes først {$$a=\displaystyle \frac{log(\frac{y_2}{y_1})}{log(\frac{x_2}{x_1})}$$} Og derefter kan b beregnes ved en af formlerne {$$b=\frac{y_1}{{x_1}^a} \quad eller \quad b=\frac{y_2}{{x_2}^a}$$}

Bevis

Formlen for a:

De to punkter indsættes i forskriften

{$$y_1 = b \cdot x_1^{\ a} \quad og \quad y_2 = b \cdot x_2^{\ a}$$}

Den sidste ligning divideres med den første

{$$\frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot x_2^{\ a}}{b \cdot x_1^{\ a}}$$}

b'erne forkortes væk

{$$\frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2^{\ a}}{x_1^{\ a}}$$}

Vi bruger en potensregneregel

{$$\frac{y_2}{y_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^a$$}

og tager logaritmen på begge sider

{$$log \left(\frac{y_2}{y_1} \right) = log \left( \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^a \right)$$}

a ryger ned foran logaritmen

{$$log \left(\frac{y_2}{y_1} \right) = a \cdot log \left( \frac{x_2}{x_1}\right)$$}

Endelig divideres med {$log \left( \frac{x_2}{x_1}\right)$}

{$$a = \frac{log \left( \frac{y_2}{y_1}\right)}{log \left(\frac{x_2}{x_1} \right)}$$}

Formlerne for b:

Vi bruger udtrykkene, hvor de to punkter er indsat i forskriften