Ligninger

En ligning er et matematisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn (deraf navnet) og en variabel (nogen gange flere). Et eksempel er:

{$$x+3=5$$}

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstre side af lighedstegnet, er lig med det, der står på højre side - er enten sand eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, er ligningen falsk. Hvis (og kun hvis) x er lig med 2, er ligningen sand.

At løse en ligning vil sige at finde den værdi (eller eventuelt de værdier), som gør ligningen sand. I eksemplet har vi altså løst ligningen, når vi har fundet frem til, at x=2.

Nogle ligninger - som den ovenfor - er så simple, at man kan gætte sig til løsningen. Det er dog langtfra altid tilfældet, og det er derfor vigtigt at lære andre metoder til at løse ligninger. Der findes mange forskellige typer af ligninger, som kræver forskellige løsningsmetoder, men her vil vi bare se på løsning af såkaldte lineære ligninger, hvori der ikke optræder potenser eller rødder eller det, der er værre.

Lineære ligninger

Princippet i fremgangsmåden er at omskrive ligningen ved hjælp af regneregler, som sikrer, at den nye omskrevne ligning har samme løsning som den oprindelige ligning. Målet med omskrivningerne er at nå frem til en ligning, hvor den ubekendte (som regel x) er blevet isoleret (står alene) på den ene side af lighedstegnet, da det der står på den anden side så vil være løsningen. Følgende regneregler kan bruges ved omskrivningerne.

Regneregler for lineære ligninger (metode 1)

  1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet
  2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet
  3. Man må gange med det samme tal (dog ikke tallet 0) på begge sider af lighedstegnet
  4. Man må dividere med det samme tal (dog ikke tallet 0) på begge sider af lighedstegnet

I praksis er det ofte lettere at anvende en modificeret version af regnereglerne:

Regneregler for lineære ligninger (metode 2)

  1. Et tal som i ligningen bliver lagt til på den ene side af lighedstegnet, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal trækkes fra
  2. Et tal som i ligningen bliver trukket fra på den ene side af lighedstegnet, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal lægges til
  3. Et tal, som udtrykket på den ene side af lighedstegnet ganges med, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal divideres med det
  4. Et tal, som udtrykket på den ene side af lighedstegnet divideres med, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal ganges med det

NB! Læg mærke til, at der er tale om præcis de samme regneregler, som blot bruges lidt anderledes, så man kan spare lidt skriveri.

Hvorfor gælder regnereglerne?

Eksempler

Eksempel 1

Vi vil løse ligningen {$x-2=3$}

Metode1

Metode 2

{$$x-2=3$$} Vi lægger tallet 2 til på begge sider {$$x-2+2=3+2$$} Da {$-2+2=0$} fås {$$x=5$$}

{$$x-2=3$$} Vi flytter tallet 2 over på den anden side, hvor det skal lægges til {$$x=3+2$$} som giver {$$x=5$$}

Eksempel 2

Vi vil løse ligningen {$x+3=5$}

Metode1

Metode 2

{$$x+3=5$$} Her trækker vi 3 fra på begge sider {$$x+3-3=5-3$$} og da {$+3-3=0$} fås {$$x=2$$}

{$$x+3=5$$} Vi flytter tallet 3 over på den anden side, hvor det skal trækkes fra {$$x=5-3$$} som giver {$$x=2$$}

Eksempel 3

Løs ligningen {$\displaystyle \frac{x}{3}=2$}

Metode1

Metode 2

{$$\frac{x}{3}=2$$} Gang med 3 på begge sider {$$\frac{x}{3}\cdot 3 = 2 \cdot 3 $$} Når tretallerne på venstresiden forkortes væk fås {$$x=6$$}

{$$\frac{x}{3}=2$$} Flyt 3 over og gang med det {$$x=2 \cdot 3$$} {$$x=6$$}

Eksempel 4

Løs ligningen {$2x=8$}

Metode1

Metode 2

{$$2x=8$$} Divider med 2 på begge sider {$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} $$} Når totallerne på venstresiden forkortes væk fås {$$x=4$$}

{$$2x=8$$} Flyt 2 over og divider {$$x=\frac{8}{2}$$} {$$x=4$$}

Flere eksempler

Flere eksempler

I eksemplerne ovenfor kunne ligningerne løses ved blot at bruge en af regnereglerne en enkelt gang. Ofte vil den ligning, der skal løses, dog være mere kompliceret, så det er nødvendigt at bruge flere af regnereglerne. Kunsten er så at overskue, hvilke regler der skal bruges og i hvilken rækkefølge, så udregningerne bliver så enkle som muligt.

Lad os se på ligningen

{$$2x+3=13$$}

Her kunne vi begynde med at flytte tretallet over på den anden side, hvor det skal trækkes fra

{$$2x=13-3$$}

{$$2x=10$$}

og derefter flytte totallet over og dividere med det

{$$x=\frac{10}{2}$$}

{$$x=5$$}

Lad os prøve at bruge regnereglerne i den omvendte rækkefølge

{$$2x+3=13$$}

Vi starter altså med at dividere med 2

Løs ligningen {$\displaystyle \frac{5x-4}{2} = x-3$} {$$\frac{5x-4}{2} = x-3$$} Vi flytter 2 over og ganger {$$5x-4 = 2 \cdot (x-3)$$} Ganger parentesen ud {$$5x-4 = 2x-6$$} Samler x'erne på samme side {$$5x-2x = -6+4$$} {$$3x = -2$$} Flytter 3 over og dividerer {$$x = -\frac{2}{3}$$}

Andre typer af ligninger: