Bevis for cosinusrelationerne

De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, og vi vælger den, hvor vinkel A indgår:

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}

Del 1

Vi ser først på en vilkårlig trekant {$\Delta ABC$}, hvor vinkel A er spids (<90 grader), så højden fra B falder indenfor trekanten:

Vi nedfælder altså højden fra B og får derved opdelt trekanten i to retvinklede trekanter. Højden deler siden b i to stykker. I trekanten til venstre - den der indeholder vinkel A - kalder vi stykket x, og i den anden trekant - den der indeholder vinkel C - er stykket så b-x (se figuren).

Vi bruger nu Pythagoras's sætning på de to retvinklede trekanter og får udtrykkene:

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

Vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger

{$$h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; h^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

og da de to udtryk, som begge er lig med {$h^2$}, selvfølgelig også er lig med hinanden, har vi ligningen

{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

Vi omformer ligningen, så der står {$a^2$} på venstresiden (som der jo gør i den cosinusrelation, vi er i gang med at udlede)

{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b-x)^2$$}

og ganger parentesen ud (se kvadratsætningerne)

{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 - 2bx$$}

{$-x^2$} og {$x^2$} går ud med hinanden, og vi får

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bx$$}

Af figuren ovenfor ses at {$x=c \cdot cos(A)$}, og når vi indsætter dette fås

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot cos(A)$$}

som jo var det, vi skulle vise.

Vi har hermed bevist den af cosinusrelationerne, hvor vinkel A indgår, omend beviset kun holder, hvis vinkel A er spids. Et fuldstændig tilsvarende bevis kan gennemføres for de to andre cosinusrelationer, men stadig under forudsætning af, at de relevante vinkler er spidse.

Del 2

Vi vil nu se på situationen, hvor vinkel {$A$} er stump:

Vi nedfælder igen højden fra vinkel B, og den rammer nu forlængelsen af siden b i et punkt, vi kalder D, som ligger udenfor trekanten. Længden af det stykke, som siden b forlænges med kaldes x (altså stykket {$\left | AD \right |$} - se figuren). Vi har derved igen fået dannet to retvinklede trekanter, nemlig trekanterne {$\Delta ABD$} og {$\Delta BCD$}.

Vi bruger nu Pythagoras' sætning på disse to trekanter og får

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\;\; og \;\;\;\;\; a^2 = h^2 + (b+x)^2$$}

eller når vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger

{$$ h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\;\; og \;\;\;\;\; h^2 = a^2 - (b+x)^2$$}

Vi sætter så de to udtryk for {$h^2$} lig med hinanden

{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b+x)^2$$}

og isolerer {$a^2$}

{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b+x)^2$$}

Dernæst ganger vi parentesen ud

{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 + 2bx$$}

og ser at {$-x^2$} og {$x^2$} spiser hinanden

{$$a^2 = b^2 + c^2 + 2bx$$}

Det fremgår af {$\Delta ABD$} på figuren ovenfor, at {$$x=c \cdot cos(180^{\circ}-A)$$} Figuren til højre viser en enhedscirkel, hvor de to vinkler {$A$} (grøn) og {$180^{\circ}-A$} (rød) er afsat. Det ses, at de to vinklers retningspunkter (skæringer med cirklen) ligger symmetrisk i forhold til y-aksen, hvilket betyder, at cosinus til de to vinkler har samme numeriske størrelse men modsat fortegn. Der gælder med andre ord {$$cos(180^{\circ}-A) = -cos(A)$$} og {$x$} kan derfor skrives {$$x=-c \cdot cos(A)$$}

Ligningen ovenfor kan altså omskrives til

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}

Vi har dermed fuldført beviset for cosinusrelationen, hvor vinkel A indgår, men da fuldstændig tilsvarende beviser naturligvis kan gennemføres for de to andre cosinusrelationer, vil vi også betragte dem som beviste.